Belajar Mencari Persamaan Garis Singgung Kurva

Pengertian Persamaan Garis Singgung Kurva merupkan turunan dari Garis Lurus yang pernah kita pelajari waktu SMP, yaitu cara menentukan gradien dan persamaan garis lurus.

Gradien Garis selalu diberi simbol "m" dimana:

*) y = mx + c = m

*) ax + by = c adalah m = - a/b

*) yaitu melalui dua titik (x1, y1) dan (x2, y2) adalah m = y2 - y1 / x2 - x1

Gradien Dua Garis Lurus

*) Sejajar : m1 = m2

*) Tegak Lurus : m1.m2 = -1

Persamaan Garis Lurus

*) Untuk Gradien satu titik (x1, y1) dan gradien m, maka:

y - y1 = m (x - x1)

*) Untuk Gradien Dua titik (x1, y1) dan (x2, y2), maka:

y - y1 / y2 - y1 = x - x1 / x2 - x1

Perhatikan Gambar Grafik Fungsi y = f(x)

Persamaan Garis Singgung Kurva

Seperti Latihan Berikut ini:

Tentukan persamaan garis singgung kurva $y=x^2$ di titik ( -1 , 1) !
Jawab :
* cari m dulu di x = -1

$\begin{array}{rcl}m & = & f'(a)\\ & = & 2x\\m & = & 2(-1)\\ & = & - 2\end{array}$

* maka persamaan garris singgung kurva dengan gradien m = -2 di ( -1 , 1) adalah

$\begin{array}{rcl}y-y_1 & = & m(x-x_1)\\y-1 & = & -2(x-(-1))\\y-1 & = & -2x-2\\y & = & - 2x-1\end{array}$
Tentukan persamaan garis singgung kurva $y=x^2$ di titik yang berabsis (-2) !
Jawab :
* cari m dulu di absis x = -2

$\begin{array}{rcl}m & = & f'(-2)\\ & = & 2x\\m & = & 2(-2)\\ & = & - 4\end{array}$

* Bandingkan dengan soal no.1, disini kita belum punya y₁ sehingga kita cari terlebih dulu

$\begin{array}{rcl}y & = & x^2\\ & = & (-2)^2\\y_1 & = & 4\end{array}$

* maka persamaan garis singgung kurva dengan gradien m = -4 di ( -2 , 4) adalah

$\begin{array}{rcl}y-y_1 & = & m(x-x_1)\\y-4 & = & -4(x-(-2))\\y-4 & = & -4x-8\\y & = & - 4x-4\end{array}$
Tentukan persamaan garis singgung kurva    $y=2x^2-3x$ yang sejajar garis   y = x !
Jawab :
* cari gradien m dari persamaan garis lurus y = x

ingat    $y={\color{Red} m}x+c$

maka m = 1 , diketerangan soal, garis saling sejajar, maka m₁= m₂= 1

* cari titik singgungnya (x₁,y₁)

ingat $m=f'(a)$ maka

$\begin{array}{rcl}m & = & f'(a)\\1 & = & 4x-3\\4x & = & 4\\x & = & 1 \end{array}$

x₁ = 1 maka kita cari y₁ dengan mensubtitusi x =1 ke    $y=2x^2-3x$

$\begin{array}{rcl}y & = & 2x^2-3x\\& = & 2(1)^2-3(1)\\y & = & -1\end{array}$

* maka persamaan garis singgung kurva dengan gradien m = 1 di ( 1 , -1) adalah

$\begin{array}{rcl}y-y_1 & = & m(x-x_1)\\y-(-1)& = & 1(x-1)\\y+1 & = & x-1\\y & = & x-2\end{array}$
Tentukan Persamaan garis singgung pada kurva    $y=-2x^2+6x+7$ yang terletak tegak lurus garis x – 2y +13 = 0 !
Jawab :
* cari gradien m dari persamaan garis lurus x – 2y +13 = 0

ingat    ${\color{Green} a}x+{\color{Blue} b}y=c$ maka    ${\color{Red} m}=-\frac{{\color{Green} a}}{{\color{Blue} b}}$

untuk x – 2y +13 = 0 maka ${\color{Red} m}=-\frac{1}{(-2)}=\frac 12$

keterangan soal garis saling tegak lurus, maka m_{1 .}m₂= – 1

$\begin{align*}m_1.m_2 & = & -1\\\left ( \frac{1}{2} \right ) .m_2 & = & -1\\m_2 & = & (-1).\left ( \frac 21 \right )\\m_2 & = & -2\end{align*}$

* cari titik singgungnya (x₁,y₁) dengan m = -2

ingat $m=f'(a)$ maka

$\begin{align*}m & = & f'(a)\\-2 & = & -4x+6\\-4x & = & -2-6\\x & = & 2\end{align*}$

x₁ = 2 maka kita cari y₁dengan mensubtitusi x = 2 ke    $y=-2x^2+6x+7$

$\begin{array}{rcl}y & = & -2x^2+6x+7\\ & = & -2(2)^2+6(2)+7\\y & = & 11\end{array}$

* maka persamaan garis singgung kurva dengan gradien m = -2 di titik ( 2 , 11) adalah

$\begin{array}{rcl}y-y_1 & = & m(x-x_1)\\y-11 & = & -2(x-2)\\y-11 & = & -2x+4\\y & = & -2x+15\\ & atau & \\ 2x+y-15 & = & 0\end{array}$

Selamat mencoba!